L14 boundary

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20%5Btool.marimo.runtime%5D%0A%23%20auto_instantiate%20%3D%20false%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20UI%20elements%20for%20interactive%20controls%0A%20%20%20%20K_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Equilibrium%20constant%20%24K%3Dc_2%2Fc_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20k1k2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.1%2C%2010.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22%24k_2%20%2F%20k_1%24%20(abs.)%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20k2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%2010.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22k2%20(phase%202%20mass%20transfer%20coefficient)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20c1b_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24c_%7B1%2Cb%7D%24%20(abs.)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20c2b_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24c_%7B2%2Cb%7D%24%20(abs.)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20K_slider%2C%20c1b_slider%2C%20c2b_slider%2C%20k1k2_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(K_slider%2C%20c1b_slider%2C%20c2b_slider%2C%20k1k2_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20slider%20values%0A%20%20%20%20K%20%3D%20K_slider.value%0A%20%20%20%20k1%20%3D%201%0A%20%20%20%20k2%20%3D%20k1k2_slider.value%20*%20k1%0A%20%20%20%20c1b%20%3D%20c1b_slider.value%0A%20%20%20%20c2b%20%3D%20c2b_slider.value%0A%0A%0A%20%20%20%20c1i%20%3D%20(k1%20*%20c1b%20%2B%20k2%20*%20c2b)%20%2F%20(k1%20%2B%20K%20*%20k2%20%2B%201e-8)%0A%20%20%20%20c2i%20%3D%20K%20*%20c1i%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20visualization%2C%20create%20exponential%20profiles%20from%20bulk%20to%20interface%0A%20%20%20%20x1%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%2C%20100)%20%20%23%20phase%201%3A%200%20(bulk)%20to%201%20(interface)%0A%20%20%20%20x2%20%3D%20np.linspace(1%2C%202%2C%20100)%20%20%23%20phase%202%3A%201%20(interface)%20to%202%20(bulk)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Exponential%20approach%20to%20interface%20(arbitrary%20decay%20rate%20for%20illustration)%0A%20%20%20%20lambda1%20%3D%206.0%0A%20%20%20%20lambda2%20%3D%206.0%0A%20%20%20%20%23%20c1_profile%20%3D%20c1b%20-%20(-c1i%20%2B%20c1b)%20*%20(np.exp(-lambda1%20*%20(1%20-%20x1)))%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%201%20-%20np.exp(-lambda1)%0A%20%20%20%20%23%20)%0A%20%20%20%20%23%20c2_profile%20%3D%20c2i%20%2B%20(c2b%20-%20c2i)%20*%20(1%20-%20np.exp(-lambda2%20*%20(x2%20-%201)))%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%201%20-%20np.exp(-lambda2)%0A%20%20%20%20%23%20)%0A%0A%20%20%20%20c1_profile%20%3D%20c1b%20%2B%20(c1i%20-%20c1b)%20*%20(np.exp((1%20-%20x1)%20*%20-lambda1))%0A%20%20%20%20c2_profile%20%3D%20c2b%20%2B%20(c2i%20-%20c2b)%20*%20(np.exp((x2%20-%201)%20*%20-lambda1))%0A%0A%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(6%2C%204))%0A%20%20%20%20plt.plot(x1%2C%20c1_profile%2C%20label%3D%22Phase%201%20(left)%22%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22)%0A%20%20%20%20plt.plot(x2%2C%20c2_profile%2C%20label%3D%22Phase%202%20(right)%22%2C%20color%3D%22tab%3Aorange%22)%0A%20%20%20%20plt.scatter(%5B1%5D%2C%20%5Bc1i%5D%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20marker%3D%22o%22%2C%20s%3D80)%0A%20%20%20%20plt.scatter(%5B1%5D%2C%20%5Bc2i%5D%2C%20color%3D%22tab%3Aorange%22%2C%20marker%3D%22o%22%2C%20s%3D80)%0A%20%20%20%20plt.scatter(%5B0%5D%2C%20%5Bc1b%5D%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20marker%3D%22s%22%2C%20s%3D80)%0A%20%20%20%20plt.scatter(%5B2%5D%2C%20%5Bc2b%5D%2C%20color%3D%22tab%3Aorange%22%2C%20marker%3D%22s%22%2C%20s%3D80)%0A%20%20%20%20plt.axvline(1%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20plt.axvspan(-0.05%2C%201.0%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20alpha%3D0.1)%0A%20%20%20%20plt.axvspan(1.0%2C%202.05%2C%20color%3D%22tab%3Aorange%22%2C%20alpha%3D0.1)%0A%20%20%20%20plt.xlim(-0.05%2C%202.05)%0A%20%20%20%20plt.ylim(0%2C%202)%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22Position%20(abs.%20unit)%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22Concentration%22)%0A%20%20%20%20plt.title(f%222-Phase%20Mass%20Transfer%5CnK%3D%7BK%3A.2f%7D%2C%20k1%3D%7Bk1%3A.2f%7D%2C%20k2%3D%7Bk2%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20plt.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20plt.gca()%0A%0A%20%20%20%20_md%20%3D%20mo.md(r%22%22%22The%20interface%20concentrations%20%24c_%7B1%2Ci%7D%24%20and%20%24c_%7B2%2Ci%7D%24%20are%20solved%20from%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20K%20%3D%20%5Cfrac%7Bc_%7B2%2Ci%7D%7D%7Bc_%7B1%2Ci%7D%7D%5C%5C%0A%20%20%20%20k_1%20(c_%7B1%2Cb%7D%20-%20c_%7B1%2C1%7D)%20%3D%20k_2%20(c_%7B2%2Ci%7D%20-%20c_%7B2%2Cb%7D)%0A%20%20%20%20%24%24%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_md%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BK_slider%2C%20k1k2_slider%5D%2C%20wrap%3DTrue%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bc1b_slider%2C%20c2b_slider%5D%2C%20wrap%3DTrue%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A