EX02-inter-diffusion.edit

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Assignment%202%20Q3%20Interactive%20Demo%0A%20%20%20%20%23%23%20Finite%20Difference%20(FD)%20Method%20For%20Interdiffusion%20Simulation%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20demo%20we%20will%20show%20how%20to%20solve%20an%20interdiffusion%20problem%20between%20two%20diffusion%20couple%20(1-2)%2C%0A%20%20%20%20with%20varying%20interdiffusivity%20given%20by%20the%20Darken%20equation%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Ctilde%7BD%7D%20%3D%20D_1%20X_2%20%2B%20D_2%20X_1%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20We%20have%20already%20provided%20an%20implementation%20of%20the%20FD%20scheme%20and%20boundary%0A%20%20%20%20conditions%20in%20the%20%60calculate_interdiffusion%60%20function%2C%0A%20%20%20%20which%20defines%20the%20numerical%20ODEs%20used%20to%20solve%20the%20%24X_1(x%2C%20t)%24%20profile%20use%20%60scipy.integrate.solve_ivp%60.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Compare%20the%20%24X_1%24%20profile%20using%20varying%20and%20fixed%20%24%5Ctilde%7BD%7D%24%20values%0A%0A%20%20%20%20We%20should%20be%20able%20to%20see%20the%20different%20between%20the%20diffusion%20profile%20under%20these%20two%20conditions%3A%0A%20%20%20%201.%20Use%20the%20exact%20position-dependent%20interdiffusivity%2C%20i.e.%20%24%5Ctilde%7BD%7D%20%3D%20%5Ctilde%7BD%7D(x)%24%0A%20%20%20%202.%20Use%20the%20averaged%20%24%5Ctilde%7BD%7D%3DD_1%20(1-%20%5Coverline%7BX%7D_1)%20%2B%20D_2%20%5Coverline%7BX%7D_1%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log10_D1_slider%20%3D%20mo.ui.slider(-16%2C%20-8%2C%200.1%2C%20value%3D-10.5%2C%20label%3Dr%22%24%5Ctext%7Blog%7D_%7B10%7D%20D_1%2F(%5Ctext%7Bm%7D%5E2%2F%5Ctext%7Bs%7D)%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20log10_D2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(-16%2C%20-8%2C%200.1%2C%20value%3D-9.5%2C%20label%3Dr%22%24%5Ctext%7Blog%7D_%7B10%7D%20D_2%2F(%5Ctext%7Bm%7D%5E2%2F%5Ctext%7Bs%7D)%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20X1L_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%201%2C%200.05%2C%20value%3D0.6%2C%20label%3Dr%22%24X_%7B1L%7D%24%20(Zn)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20X1R_slider%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%201%2C%200.05%2C%20value%3D0.0%2C%20label%3Dr%22%24X_%7B1R%7D%24%20(Zn)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20time_slider%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2030%2C%200.5%2C%20value%3D7%2C%20label%3D%22Time%20(days)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20grid_slider%20%3D%20mo.ui.slider(5%2C%20200%2C%20value%3D50%2C%20label%3D%22x-grid%20points%22%2C%20step%3D1%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1L_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1R_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D1_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D2_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20X1L_slider%2C%0A%20%20%20%20X1R_slider%2C%0A%20%20%20%20log10_D1_slider%2C%0A%20%20%20%20log10_D2_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20time_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20question1%20%3D%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20Assume%20we%20have%20a%20Zn-Cu%20diffusion%20couple%20where%20Zn%3D1%20and%20Cu%3D2.%20%0A%20%20%20%20Initially%20we%20have%20a%20Zn-Cu%20alloy%20with%20%24X_%7B%7B1L%7D%7D%24%20Zinc%20at%20left%20and%20%24X_%7B%7B1R%7D%7D%24%20Zinc%20at%20right.%20How%20will%20the%20%24X_1(x)%24%20profile%20look%20using%20the%20two%20assumptions%3F%0A%0A%20%20%20%20Please%20choose%20the%20values%20for%3A%0A%20%20%20%20-%20%7Blogd1%7D%20%7Blogd2%7D%0A%20%20%20%20-%20%7BX1L%7D%20%20%7BX1R%7D%0A%20%20%20%20-%20%7Btime%7D%0A%0A%20%20%20%20Observe%20the%20plot%2C%20you%20should%20see%20the%20exact%20%24%5C%5Ctilde%7B%7BD%7D%7D%24%20method%20reproduce%20an%20asymmetric%20%24X_1(x)%24%20profile.%20How%20will%20the%20profile%20change%20with%20the%20relation%20with%20%24D_1%24%20and%20%24D_2%24%3F%0A%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22).batch(logd1%3Dlog10_D1_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20logd2%3Dlog10_D2_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1L%3DX1L_slider%2C%20X1R%3DX1R_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20time%3Dtime_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(question1%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20question1%2C%20show_plot)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bquestion1%2C%20show_plot()%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20ode_def(np%2C%20solve_ivp)%3A%0A%20%20%20%20def%20calculate_interdiffusion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D1%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D2%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_days%3A%20float%20%3D%207.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20grid_points%3A%20int%20%3D%20200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_L%3A%20float%20%3D%200.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_R%3A%20float%20%3D%200.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20use_average%20%3D%20False%0A%20%20%20%20)%20-%3E%20tuple%5Bnp.ndarray%2C%20np.ndarray%2C%20np.ndarray%2C%20np.ndarray%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculate%20interdiffusion%20of%20two%20metals%20using%20finite%20difference%20method.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D1%3A%20Log10%20of%20diffusivity%20of%20metal%201%20(m%C2%B2%2Fs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D2%3A%20Log10%20of%20diffusivity%20of%20metal%202%20(m%C2%B2%2Fs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_days%3A%20Simulation%20time%20in%20days%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20grid_points%3A%20Number%20of%20points%20in%20spatial%20grid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_L%3A%20Initial%20molar%20fraction%20of%20metal%201%20on%20left%20side%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_R%3A%20Initial%20molar%20fraction%20of%20metal%201%20on%20right%20side%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20L%3A%20Length%20of%20domain%20in%20meters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20use_average%3A%20Use%20the%20%22averaged%22%20interdiffusivity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Tuple%20of%20(x%20grid%2C%20time%20points%2C%20concentration%20matrix%2C%20interdiffusivity%20history)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Convert%20parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D1%20%3D%2010**log10_D1%20%20%23%20m%C2%B2%2Fs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D2%20%3D%2010**log10_D2%20%20%23%20m%C2%B2%2Fs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%22Wrong%20way%20to%20calculate%20average%20X1%20and%20D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_avg%20%3D%20(X1_L%20%2B%20X1_R)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D_avg%20%3D%20D1%20*%20(1%20-%20X1_avg)%20%2B%20D2%20*%20X1_avg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_final%20%3D%20t_days%20*%2024%20*%203600%20%20%23%20Convert%20days%20to%20seconds%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20We%20always%20take%20the%20L-domain%20size%20according%20to%20the%20diffusion%20length%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L%20%3D%20np.sqrt(4%20*%20max(D1%2C%20D2)%20*%20t_final)%20*%202%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Set%20up%20spatial%20grid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-L%2C%20L%2C%20grid_points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dx%20%3D%20x%5B1%5D%20-%20x%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initial%20condition%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_0%20%3D%20np.ones(grid_points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_0%5B%3A%20grid_points%20%2F%2F%202%5D%20%3D%20X1_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1_0%5Bgrid_points%20%2F%2F%202%20%3A%5D%20%3D%20X1_R%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Define%20the%20RHS%20function%20for%20the%20ODE%20system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20diffusion_rhs(t%3A%20float%2C%20X1%3A%20np.ndarray)%20-%3E%20np.ndarray%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Ensure%20X1%20is%20bounded%20between%200%20and%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1%20%3D%20np.clip(X1%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X2%20%3D%201%20-%20X1%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20interdiffusivity%20at%20each%20point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20We%20need%20the%20interdiffusivity%20at%20the%20central%20to%20calculate%20the%20flux%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20use_average%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D%20%3D%20np.ones_like(X1)%20*%20D_avg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D%20%3D%20D1%20*%20X2%20%2B%20D2%20*%20X1%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initialize%20the%20derivative%20array%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dt%20%3D%20np.zeros_like(X1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Finite%20difference%20for%20interior%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20integrate%20without%20the%20boundary%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20len(X1)%20-%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20D*dX1%2Fdx%20at%20i%2B1%2F2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D_right%20%3D%200.5%20*%20(D%5Bi%5D%20%2B%20D%5Bi%20%2B%201%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dx_right%20%3D%20(X1%5Bi%20%2B%201%5D%20-%20X1%5Bi%5D)%20%2F%20dx%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20D*dX1%2Fdx%20at%20i-1%2F2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D_left%20%3D%200.5%20*%20(D%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20D%5Bi%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dx_left%20%3D%20(X1%5Bi%5D%20-%20X1%5Bi%20-%201%5D)%20%2F%20dx%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Second%20derivative%20using%20central%20difference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d2X1dx2%20%3D%20(D_right%20*%20dX1dx_right%20-%20D_left%20*%20dX1dx_left)%20%2F%20dx%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dt%5Bi%5D%20%3D%20d2X1dx2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20The%20boundaries%20are%20Dirichlet%20(const%20X1%20at%20begin%20and%20end)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dt%5B0%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dX1dt%5B-1%5D%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dX1dt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%20the%20system%20using%20solve_ivp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%20%3D%20np.linspace(0%2C%20t_final%2C%2010)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20solution%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion_rhs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20t_final%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D%22BDF%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3Dt_eval%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D1e-5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atol%3D1e-8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20interdiffusivity%20for%20each%20timestep%20and%20position%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20First%20clip%20X1%20values%20to%20ensure%20they're%20in%20%5B0%2C%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_clipped%20%3D%20np.clip(solution.y%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20X2%20%3D%201%20-%20X1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X2%20%3D%201%20-%20y_clipped%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20D%20for%20each%20X1%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20use_average%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D_history%20%3D%20np.ones_like(y_clipped)%20*%20D_avg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20D_history%20%3D%20D1%20*%20X2%20%2B%20D2%20*%20y_clipped%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x%2C%20solution.t%2C%20solution.y.T%2C%20D_history.T%0A%0A%20%20%20%20return%20(calculate_interdiffusion%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(calculate_interdiffusion%2C%20plt%2C%20question1)%3A%0A%20%20%20%20def%20show_plot()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10d1%2C%20log10d2%20%3D%20question1.value%5B%22logd1%22%5D%2C%20question1.value%5B%22logd2%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_days%20%3D%20question1.value%5B%22time%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1L%20%3D%20question1.value%5B%22X1L%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1R%20%3D%20question1.value%5B%22X1R%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20sol_t%2C%20sol_y%2C%20sol_D%20%3D%20calculate_interdiffusion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D1%3Dlog10d1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D2%3Dlog10d2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_days%3Dt_days%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_L%3DX1L%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_R%3DX1R%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20use_average%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_avg%2C%20sol_t_avg%2C%20sol_y_avg%2C%20_%20%3D%20calculate_interdiffusion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D1%3Dlog10d1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_D2%3Dlog10d2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_days%3Dt_days%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_L%3DX1L%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20X1_R%3DX1R%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20use_average%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%206))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.subplot(1%2C%202%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(x%2C%20sol_y%5B-1%5D%2C%20label%3Dr%22Exact%20%24%5Ctilde%7BD%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(x%2C%20sol_y_avg%5B-1%5D%2C%20%22--%22%2C%20label%3Dr%22Averaged%20%24%5Ctilde%7BD%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.axvline(x%3D0.0%2C%20ls%3D%22-%22%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.0%2C%20y%3Dplt.ylim()%5B1%5D%2C%20s%3D%22Initial%20boundary%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.axhline(y%3D(X1L%20%2B%20X1R)%20%2F%202%2C%20ls%3D%22-%22%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D(X1L%20%2B%20X1R)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dplt.xlim()%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3Dr%22%24%5Cfrac%7BX_%7B1L%7D%20%2B%20X_%7B1R%7D%7D%7B2%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlabel(%22Position%20%24x%24%20(m)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylabel(%22%24X_1(x)%24%20(Zn%20frac)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.legend()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.subplot(1%2C%202%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(x%2C%20sol_D%5B-1%5D%2C%20label%3D%22%24%5C%5Ctilde%7B%7BD%7D%7D(x)%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlabel(%22Position%20%24x%24%20(m)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylabel(%22Inter-Diffusivity%20(m%24%5E2%24%2Fs)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.grid(%22on%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.legend()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20plt.gca()%0A%0A%20%20%20%20return%20(show_plot%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%20%20%20%20from%20scipy.special%20import%20erf%2C%20erfc%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A