EX04 hetero nuc.edit

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20setup%20%3D%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Simulating%20multistage%20heterogeneous%20nucleation%20in%20a%20pit%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20pit%20with%20side%20length%20%24l%24%20(arb.%20unit)%20and%20solid%20angle%20%24%5C%5Calpha%24%2C%20%0A%20%20%20%20we%20can%20calcualte%20the%20total%20free%20energy%20of%20nucleation%20%24%5C%5CDelta%20G%24%20as%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5C%5CDelta%20G%20%3D%20V(n)*%20G%20%2B%20%5C%5CDelta%20A(n)%20*%20%5C%5Cgamma%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24G%24%20and%20%24%5C%5Cgamma%24%20are%20scaled%20free%20energy%20and%20surface%20energy%2C%20respectively.%0A%0A%20%20%20%20How%20will%20the%20free%20energy%20profile%20look%20like%20when%20we%20change%20the%20change%20the%20volume%20of%20cone%3F%20We%20can%20plot%20the%20normalized%0A%20%20%20%20%24%5C%5CDelta%20G%20%2F%20%5C%5CDelta%20G_%7B%7Bc%2C%20%5C%5Ctext%7B%7Bhomo%7D%7D%7D%7D%24%20as%20a%20measure%20with%20respect%20to%20**homogeneous%20critical%20barrier**.%20%0A%20%20%20%20For%20simplification%0A%20%20%20%20we%20will%20monitor%20the%20total%20volume%20of%20the%20nucleation%20normalized%20by%20the%20**homogeneous%20critical%20barrier**%2C%20that%20is%20%24n%20%2F%20n_c%24%0A%0A%20%20%20%20Please%20change%20the%20following%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Length%20%24l%24%20(arb.%20unit)%3A%20%7Bl0%7D%20%0A%20%20%20%20-%20Solid%20angle%20%24%5C%5Calpha%24%20(%C2%B0)%3A%20%7Balpha%7D%20%0A%20%20%20%20-%20Ratio%20%24%5C%5Cdfrac%7B%7BS%7D%7D%7B%7BG%7D%7D%24%20(arb.%20unit)%3A%20%7Bk%7D%20%0A%20%20%20%20-%20Location%20on%20the%20curve%20%24n%2Fn_c%24%3A%20%7Blocation%7D%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22).batch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20l0%3Dmo.ui.slider(steps%3Dnp.linspace(0.1%2C%205%2C%2032)%2C%20show_value%3DTrue)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3Dmo.ui.slider(steps%3Dnp.arange(15%2C%20151%2C%205)%2C%20value%3D60%2C%20show_value%3DTrue)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k%3Dmo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.arange(0.5%2C%201.5%2C%200.05)%2C%20value%3D1.00%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20location%3Dmo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(0.0%2C%202.0%2C%2032)%2C%20value%3D0.0%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20setup%0A%20%20%20%20return%20(setup%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cos%2C%20np%2C%20plot_single%2C%20plt%2C%20radians%2C%20setup%2C%20sin)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_geometry(ax%2C%20l0_val%2C%20l1_val%2C%20alpha_val%2C%20l2_val%2C%20alpha2_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Plots%20the%20geometric%20representation%20of%20the%20nucleation%20stages.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l0_val%20(float)%3A%20The%20base%20length%20of%20the%20initial%20cone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_val%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20initial%20cone%20in%20degrees.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l1_val%20(float)%3A%20The%20effective%20length%20for%20stage%201.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l2_val%20(float)%3A%20The%20effective%20length%20for%20stage%202%20and%203.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha2_val%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20for%20the%20cap%20in%20degrees.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matplotlib.axes.Axes%3A%20The%20axes%20object%20containing%20the%20plot.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_cone%20%3D%20radians(alpha_val%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_cone%20%3D%20l0_val%20*%20sin(theta_cone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_cone%20%3D%20l0_val%20*%20cos(theta_cone)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Base%20of%20the%20cone%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5B-r_cone%2C%200%2C%20r_cone%5D%2C%20%5Bh_cone%2C%200%2C%20h_cone%5D%2C%20color%3D'grey'%2C%20linestyle%3D'-')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Stage%201%3A%20Partial%20cone%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l1_val%20%3C%20l0_val%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_arc_stage1%20%3D%20radians(alpha_val%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_vals%20%3D%20np.linspace(-theta_arc_stage1%2C%20theta_arc_stage1%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_arc%20%3D%20l1_val%20*%20np.sin(theta_vals)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_arc%20%3D%20l1_val%20*%20np.cos(theta_vals)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(x_arc%2C%20y_arc%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D'-')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(x_arc%2C%20y_arc%2C%20np.abs(x_arc)%20%2F%20np.tan(theta_cone)%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Stage%202%3A%20Spherical%20cap%20with%20a%20varying%20angle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20alpha2_val%20%3C%20180%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_arc_stage2%20%3D%20radians(alpha2_val%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_vals%20%3D%20np.linspace(-theta_arc_stage2%2C%20theta_arc_stage2%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_arc%20%3D%20l2_val%20*%20np.sin(theta_vals)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_arc%20%3D%20l2_val%20*%20(np.cos(theta_vals)%20-%20np.cos(theta_arc_stage2))%20%2B%20h_cone%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(x_arc%2C%20y_arc%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D'-')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(x_arc%2C%20y_arc%2C%20np.abs(x_arc)%20%2F%20np.tan(theta_cone)%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Stage%203%3A%20Full%20spherical%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_vals%20%3D%20np.linspace(-np.pi%20%2F%202%2C%20np.pi%20%2F%202%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_arc%20%3D%20l2_val%20*%20np.sin(theta_vals)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_arc%20%3D%20l2_val%20*%20(np.cos(theta_vals))%20%2B%20h_cone%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(x_arc%2C%20y_arc%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20linestyle%3D'-')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(x_arc%2C%20y_arc%2C%20h_cone%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.fill_between(%5B-r_cone%2C%200%2C%20r_cone%5D%2C%20%5Bh_cone%2C%200%2C%20h_cone%5D%2C%20%5Bh_cone%2C%20%5D%20*%203%2C%20color%3D%22tab%3Ablue%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_aspect('equal'%2C%20adjustable%3D'box')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20ax%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%206))%0A%20%20%20%20ax1%20%3D%20axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20ax2%20%3D%20axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20ax1%2C%20param%20%3D%20plot_single(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20l0%3Dsetup.value%5B%22l0%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3Dsetup.value%5B%22alpha%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_location%3Dsetup.value%5B%22location%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_value%3Dsetup.value%5B%22k%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20parameters%20for%20drawing%0A%20%20%20%20l0_val%20%3D%20setup.value%5B%22l0%22%5D%0A%20%20%20%20l1_val%2C%20alpha_val%2C%20l2_val%2C%20alpha2_val%20%3D%20param%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20geometry%0A%20%20%20%20ax2%20%3D%20plot_geometry(ax2%2C%20l0_val%2C%20*param)%0A%20%20%20%20ax2.set_title(%22Nucleus%20Geometry%22)%0A%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(ideal_cone%2C%20ideal_plane%2C%20np%2C%20profile%2C%20vol_cone)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_single(ax%2C%20l0%2C%20alpha%3D60%2C%20show_location%3D0%2C%20k_value%3D0.5)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Compare%20the%20profiles%20with%20perfect%20flat%20plane%20and%20infinite%20cone%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Pit-system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%20%3D%20128%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%2C%20dG%2C%20params%20%3D%20profile(l0%3Dl0%2C%20steps%3Dsteps%2C%20alpha%3Dalpha%2C%20k%3Dk_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_p%2C%20dG_p%20%3D%20ideal_plane(l0%3Dl0%2C%20alpha%3Dalpha%2C%20steps%3Dsteps%2C%20alpha2%3D180%2C%20k%3Dk_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_b%2C%20dG_b%20%3D%20ideal_plane(l0%3D0%2C%20alpha2%3D360%2C%20steps%3Dsteps%2C%20k%3Dk_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_cone%2C%20dG_cone%20%3D%20ideal_cone(L_max%3D5%2C%20alpha%3Dalpha%2C%20steps%3Dsteps%2C%20k%3Dk_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nc%20%3D%20v_b%5Bnp.argmax(dG_p)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_bulk%20%3D%20np.max(dG_b)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v_cone_max%20%3D%20vol_cone(l0%2C%20alpha)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v%5B%3Asteps%5D%20%2F%20nc%2C%20dG%5B%3Asteps%5D%20%2F%20gc_bulk%2C%20label%3D%22Stage%201%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v%5Bsteps%3A%202%20*%20steps%5D%20%2F%20nc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dG%5Bsteps%3A%202%20*%20steps%5D%20%2F%20gc_bulk%2C%20label%3D%22Stage%202%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v%5Bsteps%20*%202%3A%20steps%20*%203%5D%20%2F%20nc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dG%5Bsteps%20*%202%3A%20steps%20*%203%5D%20%2F%20gc_bulk%2C%20label%3D%22Stage%203%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v_b%20%2F%20nc%2C%20dG_b%20%2F%20gc_bulk%2C%20%22-.%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20label%3D%22Homogeneous%20nuceation%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Planar%20system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v_p%20%2F%20nc%2C%20dG_p%20%2F%20gc_bulk%2C%20%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20label%3D%22Ideal%20flat%20surface%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20cone%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(v_cone%20%2F%20nc%2C%20dG_cone%20%2F%20gc_bulk%2C%20%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20label%3D%22Infinite%20cone%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axhline(y%3D0%2C%20color%3D%22grey%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlim(0%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(-1%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(%22Volume%20of%20cone%3A%20%7B%3A.2f%7D%20%24n_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bc%7D%7D%7D%7D%24%22.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20format(v_cone_max%20%2F%20nc))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel(r%22%24%5CDelta%20G%20%2F%20%5CDelta%20G_%7B%5Cmathrm%7Bc%2C%20homo%7D%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel(r%22%24n%20%2F%20n_%7B%5Cmathrm%7Bc%2C%20homo%7D%7D%24%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Display%20the%20current%20location%20on%20the%20free%20energy%20curve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20show_location%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Interpolate%20to%20find%20the%20dG%20value%20at%20the%20exact%20show_location%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20We%20use%20the%20'v'%20and%20'dG'%20arrays%2C%20normalized%20by%20'nc'%20and%20'gc_bulk'%20respectively%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normalized_v%20%3D%20v%20%2F%20nc%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20normalized_dG%20%3D%20dG%20%2F%20gc_bulk%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Use%20numpy.interp%20to%20find%20the%20dG%20value%20at%20show_location%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Ensure%20that%20show_location%20is%20within%20the%20range%20of%20normalized_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20show_location%20%3E%3D%20normalized_v.min()%20and%20show_location%20%3C%3D%20normalized_v.max()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20interpolated_dG%20%3D%20np.interp(show_location%2C%20normalized_v%2C%20normalized_dG)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(show_location%2C%20interpolated_dG%2C%20'ko'%2C%20markersize%3D5)%20%20%23%20'ko'%20for%20black%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pass%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Obtain%20the%20current%20parameter%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20idx%20%3D%20np.abs(normalized_v%20-%20show_location).argmin()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20%3D%20params%5Bidx%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20If%20show_location%20is%20outside%20the%20plotted%20range%2C%20find%20the%20closest%20point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20This%20part%20is%20similar%20to%20the%20original%20logic%2C%20as%20it%20handles%20out-of-bounds%20cases%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20ax.plot(normalized_v%5Bidx%5D%2C%20normalized_dG%5Bidx%5D%2C%20'ko'%2C%20markersize%3D5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend(loc%3D%22lower%20right%22%2C%20frameon%3DTrue%2C%20fontsize%3D%22smaller%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20ax%2C%20param%0A%0A%20%20%20%20return%20(plot_single%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(area_cap%2C%20np%2C%20vol_cap%2C%20vol_cone)%3A%0A%20%20%20%20def%20ideal_plane(l0%3D0%2C%20r_max%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha2%3D180%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3D128%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%3D0.7)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20Delta%20Phi%20-%20V%20profile%20of%20an%20ideally%20flat%20plane.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20function%20simulates%20an%20ideal%20flat%20plane%20by%20varying%20the%20radius%20of%20a%20spherical%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20keeping%20the%20cone's%20length%20and%20angle%20constant.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l0%20(float)%3A%20The%20length%20of%20the%20cone.%20Defaults%20to%200%2C%20implying%20no%20cone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r_max%20(float)%3A%20The%20maximum%20radius%20of%20the%20spherical%20cap.%20Defaults%20to%203.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20in%20degrees.%20Defaults%20to%2060.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha2%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20defining%20the%20spherical%20cap%20in%20degrees.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Defaults%20to%20180%2C%20representing%20a%20full%20sphere.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%20(int)%3A%20The%20number%20of%20steps%20to%20discretize%20the%20radius%20variation.%20Defaults%20to%20128.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%20(float)%3A%20A%20proportionality%20constant%20used%20in%20the%20Delta%20Phi%20calculation.%20Defaults%20to%200.7.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tuple%3A%20A%20tuple%20containing%20two%20numpy%20arrays%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20v%20(np.ndarray)%3A%20An%20array%20of%20calculated%20volumes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20delta%20(np.ndarray)%3A%20An%20array%20of%20Delta%20Phi%20values%20(Delta%20Phi%20%3D%20-V%20%2B%20k*S).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20l0%20%3D%200%20no%20delay%0A%20%20%20%20%20%20%20%20params%20%3D%20%5B(l0%2C%20alpha%2C%20r%2C%20alpha2)%20for%20r%20in%20np.linspace(0%2C%20r_max%2C%20steps)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20np.array(%5Bvol_cone(l%2C%20a)%20%2B%20vol_cap(r%2C%20a2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20l%2C%20a%2C%20r%2C%20a2%20in%20params%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20np.array(%5Barea_cap(r%2C%20a2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20l%2C%20a%2C%20r%2C%20a2%20in%20params%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20-v%20%2B%20k%20*%20s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20v%2C%20delta%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20ideal_cone(L_max%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3D128%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%3D0.7)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20Delta%20Phi%20-%20V%20profile%20of%20an%20ideal%2C%20infinitely%20large%20cone.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20function%20simulates%20an%20ideal%20cone%20by%20varying%20its%20length%20while%20keeping%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20apex%20angle%20constant%20and%20assuming%20no%20cap.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20L_max%20(float)%3A%20The%20maximum%20length%20of%20the%20cone.%20Defaults%20to%205.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20in%20degrees.%20Defaults%20to%2060.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%20(int)%3A%20The%20number%20of%20steps%20to%20discretize%20the%20length%20variation.%20Defaults%20to%20128.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%20(float)%3A%20A%20proportionality%20constant%20used%20in%20the%20Delta%20Phi%20calculation.%20Defaults%20to%200.7.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tuple%3A%20A%20tuple%20containing%20two%20numpy%20arrays%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20v%20(np.ndarray)%3A%20An%20array%20of%20calculated%20volumes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20delta%20(np.ndarray)%3A%20An%20array%20of%20Delta%20Phi%20values%20(Delta%20Phi%20%3D%20-V%20%2B%20k*S).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20l0%20%3D%200%20no%20delay%0A%20%20%20%20%20%20%20%20params%20%3D%20%5B(l%2C%20alpha%2C%200%2C%200)%20for%20l%20in%20np.linspace(0%2C%20L_max%2C%20steps)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20np.array(%5Bvol_cone(l%2C%20a)%20%2B%20vol_cap(l%2C%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20l%2C%20a%2C%20r%2C%20a2%20in%20params%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20np.array(%5Barea_cap(l%2C%20a)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20l%2C%20a%2C%20r%2C%20a2%20in%20params%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20-v%20%2B%20k%20*%20s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20v%2C%20delta%0A%0A%20%20%20%20return%20ideal_cone%2C%20ideal_plane%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(area_cap%2C%20np%2C%20radians%2C%20sin%2C%20vol_cap%2C%20vol_cone)%3A%0A%20%20%20%20def%20profile(l0%3D2%2C%20dr%3D5%2C%20alpha%3D60%2C%20steps%3D128%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%3D0.7)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20Delta%20Phi%20-%20V%20profile%20of%20a%20mixed%20system.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20profile%20is%20generated%20by%20varying%20the%20geometry%20of%20a%20cone%20and%20a%20cap.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20process%20is%20divided%20into%20three%20steps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Both%20cone%20and%20cap%20dimensions%20vary%3A%20cone%20(l%2C%20alpha)%2C%20cap%20(l%2C%20alpha)%20where%20l%20%3C%3D%20l0.%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Cone%20dimension%20is%20fixed%2C%20cap%20dimension%20varies%3A%20cone%20(l0%2C%20alpha)%2C%20cap%20(r%2C%20alpha')%20where%20alpha'%20is%20varied%20from%20alpha%2F2%20to%2090%20degrees.%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Cone%20dimension%20is%20fixed%2C%20cap%20radius%20varies%3A%20cone%20(l0%2C%20alpha)%2C%20cap%20(r%2C%20180%20degrees)%20where%20r%20varies%20from%20the%20maximum%20radius%20in%20step%202%20up%20to%20l0*sin(alpha%2F2)%20%2B%20dr.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l0%20(float)%3A%20Initial%20length%20of%20the%20cone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dr%20(float)%3A%20Additional%20radius%20for%20the%20cap%20in%20the%20third%20step.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20in%20degrees.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steps%20(int)%3A%20The%20number%20of%20steps%20to%20use%20for%20each%20part%20of%20the%20profile%20generation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k%20(float)%3A%20A%20proportionality%20constant.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tuple%3A%20A%20tuple%20containing%20two%20numpy%20arrays%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20v%20(np.ndarray)%3A%20Array%20of%20calculated%20volumes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20delta%20(np.ndarray)%3A%20Array%20of%20calculated%20Delta%20Phi%20values.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%20%3D%20alpha%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_max%20%3D%20l0%20*%20sin(radians(theta))%20%2B%20dr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20params%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Step%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ll%20%3D%20np.linspace(0%2C%20l0%2C%20steps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20l%20in%20ll%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20params.append((l%2C%20alpha%2C%20l%2C%20alpha))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Step%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tt%20%3D%20np.linspace(theta%2C%2090%2C%20steps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20t%20in%20tt%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20params.append((l0%2C%20alpha%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l0%20*%20sin(radians(theta))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20sin(radians(t))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202%20*%20t))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Step%203%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rr%20%3D%20np.linspace(l0%20*%20sin(radians(theta))%2C%20r_max%2C%20steps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bparams.append((l0%2C%20alpha%2C%20r%2C%20180))%20for%20r%20in%20rr%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20p%20in%20params%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%2C%20alpha%2C%20r%2C%20alpha2%20%3D%20p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20vol_cone(l%2C%20alpha)%20%2B%20vol_cap(r%2C%20alpha2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20area_cap(r%2C%20alpha2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res.append((v%2C%20s))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20np.array(res)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20res%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20res%5B%3A%2C%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20-v%20%2B%20k%20*%20s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20v%2C%20delta%2C%20params%0A%0A%20%20%20%20return%20(profile%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cos%2C%20pi%2C%20radians%2C%20sin)%3A%0A%20%20%20%20def%20vol_cone(l%2C%20alpha)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20volume%20of%20a%20cone.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%20(float)%3A%20The%20slant%20height%20of%20the%20cone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20in%20degrees.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float%3A%20The%20volume%20of%20the%20cone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%20%3D%20radians(alpha%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%20%3D%20l%20*%20sin(theta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h%20%3D%20l%20*%20cos(theta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%201.0%20%2F%203%20*%20pi%20*%20r%20*%20r%20*%20h%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20v%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20vol_cap(r%2C%20phi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20volume%20of%20a%20spherical%20cap.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%20(float)%3A%20The%20radius%20of%20the%20sphere%20from%20which%20the%20cap%20is%20cut.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20that%20defines%20the%20cap's%20height%20in%20degrees.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float%3A%20The%20volume%20of%20the%20spherical%20cap.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%20%3D%20radians(phi%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%201.0%20%2F%203%20*%20pi%20*%20r%20**%203%20*%20(2%20%2B%20cos(theta))%20*%20(1%20-%20cos(theta))%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20v%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20area_cap(r%2C%20phi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Calculates%20the%20surface%20area%20of%20a%20spherical%20cap.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%20(float)%3A%20The%20radius%20of%20the%20sphere%20from%20which%20the%20cap%20is%20cut.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20(float)%3A%20The%20apex%20angle%20of%20the%20cone%20that%20defines%20the%20cap's%20height%20in%20degrees.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float%3A%20The%20surface%20area%20of%20the%20spherical%20cap.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%20%3D%20radians(phi%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%202%20*%20pi%20*%20(1%20-%20cos(theta))%20*%20r%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20s%0A%0A%20%20%20%20return%20area_cap%2C%20vol_cap%2C%20vol_cone%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20numpy%20import%20pi%2C%20cos%2C%20sin%2C%20radians%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20cos%2C%20np%2C%20pi%2C%20plt%2C%20radians%2C%20sin%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A